杨恭懿
杨恭懿字元甫，奉元人，自幼好学，记忆力强，每日能记诵数千言，随父母逃难亦不中辍。十七岁时西还故乡，家贫，靠劳动为生，有暇即学，且无书不读，尤潜心于《易经》、《礼经》、《春秋》。得朱熹《四书集注》，读后不禁感叹道：“论三纲五常、天道性命的道理，尽在此书。”父亲逝世，恭懿按丧礼克尽孝道。宣抚司、行省召他掌书记之职，恭懿辞不就任。

杨恭懿，字元甫，奉元人。力学强记，日数千言，虽从亲逃乱，未尝废业。年十七，西还，家贫，服劳为养。暇则就学，书无不读，尤深于《易》、《礼》、《春秋》，后得朱熹集注《四书》，叹曰：“人伦日用之常，天道性命之妙，皆萃此书矣。”父没，水浆不入口者五日，居丧尽礼。宣抚司、行省以掌书记辟，不就。
至元七年(1270)和十年，朝廷曾两度召他，均托病不出。至元十一年，太子令中书省仿汉惠帝以谦卑言辞、舒适车辆聘请“四老”之礼聘请恭懿，丞相也遣郎中张元智致信劝说，这才至京师入见皇帝。世祖遣国王和童盛情欢迎，继又躬亲详细询问其家乡、氏族、师承以及子孙等各方面情况，关怀备至。十二年正月，侍读学士徒单公履奏请开科取士，，世祖令恭懿参预筹划。恭懿提出“：圣上说过，士不学习经书孔孟之道，专好空泛的诗文，于事无益。此话确为万代治国之本。今日要科举取士，宜令官府荐举那些行为检束，通经晓史之士，考试经义、策论。既然学以致用，则风气淳厚，国家能得到真才实学的人。”世祖赞赏这一意见。当时朝廷正要北征，恭懿又回家乡去了。

至元七年，与许衡俱被召，恭懿不至。衡拜中书左丞，日于右相安童前称誉恭懿之贤，丞相以闻。十年，诏遣使召之，以疾不起。十一年，太子下教中书，俾如汉惠聘四皓者以聘恭懿，丞相遣郎中张元智为书致命，乃至京师。既入见，世祖遣国王和童劳其远来，继又亲询其乡里、族氏、师承、子姓，无不周悉。十二年正月二日，帝御香殿，以大军南征，使久不至，命筮之，其言秘。侍读学士徒单公履请设取士科，诏与恭懿议之。恭懿言：“明诏有谓：士不治经学孔孟之道，日为赋诗空文。斯言诚万世治安之本。今欲取士，宜敕有司，举有行检、通经史之士，使无投牒自售，试以经义、论策。夫既从事实学，则士风还淳，民俗趋厚，国家得才矣。”奏之，帝善之。会北征，恭懿遂归田里。
至元十六年(1279)又奉诏入京，世祖命他于太史院修改历法。十七年二月，恭懿上书陈述修改历法的情形，说明旧的历法已不精确，现又创立新的《辛巳历》，比起旧历来要精确些，但还须每年做一次修正，经三十年后就差不多很精确了。又上《合朔议》，陈述自秦以来修改历法的经过，最后说：“臣等更造新历，是依据过去历法家们的定论，考察观测天象的运行情况，自至元十九年八月后，完全符合日月运行的日数。”世祖授为集贤学士兼太史院事。

十六年，诏安西王相敦遣赴阙。入见，诏于太史院改历。十七年二月，进奏曰：“臣等遍考自汉以来历书四十余家，精思推算，旧仪难用，而新者未备，故日行盈缩，月行迟疾，五行周天，其详皆未精察。今权以新仪木表，与旧仪所测相较，得今岁冬至晷景及日躔所在，与列舍分度之差，大都北极之高下，昼夜刻长短，参以古制，创立新法，推算成《辛巳历》。虽或未精，然比之前改历者，附会历元，更立日法，全踵故习，顾亦无愧。然必每岁测验修改，积三十年，庶尽其法。可使如三代日官，世专其职，测验良久，无改岁之事矣。”又《合朔议》曰：
至元十八年，辞职归家。二十年召回为太子宾客，二十二年授任昭文馆学士，领太史院事。二十九年命参预中书省事，但他都一一推辞不赴任。至元三十一年(1294)卒，享年七十岁。

日行历四时一周，谓之一岁；月逾一周，复与日合，谓之一月；言一月之始，日月相合，故谓合朔。自秦废历纪，汉太初止用平朔法，大小相间，或有二大者，故日食多在晦日或二日，测验时刻亦鲜中。宋何承天测验四十余年，进《元嘉历》，始以月行迟速定小余以正朔望，使食必在朔，名定朔法，有三大二小，时以异旧法罢之。梁虞广刂造《大同历》，隋刘焯造《皇极历》，皆用定朔，为时所阻。唐傅仁均造《戊寅历》，定朔始得行。贞观十九年，四月频大，人皆异之，竟改从平朔。李淳风造《麟德历》，虽不用平朔，遇四大则避人言，以平朔间之，又希合当世，为进朔法，使无元日之食。至一行造《大衍历》，谓“天事诚密，四大三小何伤。”诚为确论，然亦循常不改。臣等更造新历，一依前贤定论，推算皆改从实。今十九年历，自八月后，四月并大，实日月合朔之数也。
王恂字敬甫，中山唐县人。父王良，金末为中山府的一个小官吏，后弃官而潜心于宋之程颐、程颢兄弟之理学，对于天文律历无不精通，年九十二岁卒。

详见《郭守敬传》。是日，方列跪，未读奏，帝命许衡及恭懿起，曰：“卿二老，毋自劳也。”授集贤学士，兼太史院事。
恂禀性聪悟，三岁就能识字，母刘氏教他读《千字文》，他过目成诵。六岁开始上学，十三岁学习《九章算术》，造诣颇深。定宗皇后元年(1249)，太保刘秉忠北上，途经中山，见恂甚为赏识。秉忠南还后，王恂即拜秉忠为师。

十八年，辞归。二十年，以太子宾客召；二十二年，以昭文馆学士、领太史院事召；二十九年，以议中书省事召。皆不行。三十一年，卒，年七十。
宪宗三年(1253)，秉忠推荐其给世祖，召见于六盘山，命为太子裕宗之伴读。中统二年(1261)，擢升为太子赞善，这时王恂已二十八岁。三年，裕宗封燕王，为中书令，兼管枢密院事，令两府大臣：凡有禀报，必告诉王恂。中书左丞许衡汇集唐、虞以来良言善政为书进呈皇上，世祖命恂讲解，且命太子以王恂为师。又诏令恂慎重照顾太子饮食起居，凡是不当接触的人不准在太子左右。恂说“：太子是国家的根本，负有国家存亡的重任，当请德高望重的人与太子住在一起。何况太子兼领中书省枢密院两处政务，应当所有的诏令都必须看，一切政务都应一一过问，凡因犯罪而免官的人，不能再用，军官在更换之际尤不可选用那些不好的人。人民虽愚昧且信仰鬼神，但变乱之后，只要我们不存疑惧，他们反抗之心就会变为对朝廷忠厚之心。”这些话帝深以为然。

王恂
恂早已以算术著名，裕宗向他求教，王恂说“：算数只六艺之一，而定国家、安人民才是头等大事。”因此，他每当侍奉裕宗时，必阐述三纲五常、求学之道以及历代治乱兴亡的原因。又以为期不远的辽、金政事为例，区别其善恶，议论其得失，进呈皇太子。裕宗问他关于修养心性的意义，恂说：“许衡曾说过，人心如印版，印版不错位，虽千万张纸也不会有差错；若印版错了，印在纸上没有不差错的。”裕宗深以为然。帝挑选勋戚子弟拜王恂为师。恂随裕宗至称海抚慰军士，把所领学生交许衡教导，衡告老还乡后，还是令恂为国子祭酒主管国子生教育，国学之制实从此开始。

王恂，字敬甫，中山唐县人。父良，金末为中山府掾，时民遭乱后，多以诖误系狱，良前后所活数百人。已而弃去吏业，潜心伊洛之学，及天文律历，无不精究，年九十二卒。恂性颖悟，生三岁，家人示以书帙，辄识风、丁二字。母刘氏，授以《千字文》，再过目，即成诵。六岁就学，十三学九数，辄造其极。岁己酉，太保刘秉忠北上，途经中山，见而奇之，及南还，从秉忠学于磁之紫金山。
世祖以本朝所沿用的金《大明历》不精确，知恂精于算术，命他修正。恂则荐举许衡，于是召衡赴朝领改历事，而参预的官员全由王恂安排。恂与衡及杨恭懿、郭守敬等，参考四十余家的历书，日夜观测天象，做精密推算，创立新历法，详见《郭守敬传》。至元十六年(1279)，授王恂为嘉议大夫、太史令。十七年新历书编成，赐名为《授时历》，颁行天下。

癸丑，秉忠荐之世祖，召见于六盘山，命辅导裕宗，为太子伴读。中统二年，擢太子赞善，时年二十八。三年，裕宗封燕王，守中书令，兼判枢密院事，敕两府大臣：凡有咨禀，必令王恂与闻。初，中书左丞许衡集唐、虞以来嘉言善政，为书以进。世祖尝令恂讲解，且命太子受业焉。又诏恂于太子起居饮食，慎为调护，非所宜接之人，勿令得侍左右。恂言：“太子天下本，付托至重，当延名德与之居处。况兼领中书、枢密之政，诏条所当遍览，庶务亦当屡省，官吏以罪免者毋使更进，军官害人，改用之际，尤不可非其人。民至愚而神，变乱之余，吾不之疑，则反覆化为忠厚。”帝深然之。
至元十八年，王恂因父亲去世哀痛过度，损伤身体，不久病卒，年四十七岁。王恂患病期间，裕宗多次遣医去诊治，去世后又赐钞二千贯为安葬费。世祖为褒其定历法之功，赐王恂家钞五千贯。延..二年(1315)，赠推忠守正功臣、光禄大夫、司徒、上柱国、定国公，谥“文肃”。

恂早以算术名，裕宗尝问焉。恂曰：“算数，六艺之一，定国家，安人民，乃大事也。”每侍左右，必发明三纲五常，为学之道，及历代治忽兴亡之所以然。又以辽、金之事近接耳目者，区别其善恶，论著其得失，上之。裕宗问以心之所守，恂曰：“许衡尝言：人心如印板，惟板本不差，则虽摹千万纸皆不差；本既差，则摹之于纸，无不差者。”裕宗深然之。诏择勋戚子弟，使学于恂，师道卓然。及恂从裕宗抚军称海，乃以诸生属之许衡，及衡告老而去，复命恂领国子祭酒。国学之制，实始于此。
郭守敬字若思，顺德邢台人。祖父郭荣精通五经、算术、水利。守敬先从刘秉忠为师，中统三年(1262)被张文谦推荐去学习水利，思维敏捷过人。

帝以国朝承用金《大明历》，岁久浸疏，欲厘正之，知恂精于算术，遂以命之。恂荐许衡能明历之理，诏驿召赴阙，命领改历事，官属悉听恂辟置。恂与衡及杨恭懿、郭守敬等，遍考历书四十余家，昼夜测验，创立新法，参以古制，推算极为精密，详在《守敬传》。十六年，授嘉议大夫、太史令。十七年，历成，赐名《授时历》，以其年冬颁行天下。
世祖召见，守敬面陈水利六事：其一，由中都至通州之旧漕河，引玉泉水可通舟楫，进行漕运，每岁可节省雇车钱六万缗。通州以南，于蔺榆河口径直开渠引水，由蒙村跳梁务至杨村注入黄河，可避免浮鸡氵甸水浅流急和风浪之患。其二，将顺德达泉引入城中，分为三渠，灌溉城东田地。其三，顺德沣河东至古任城已失故道，淹没民田千三百余顷。若将此水开修成河，既可得田耕种，又可自小王村经滹沱，合入御河，通行舟筏。其四，磁州东北滏、漳二水合流处，引水由滏阳、邯郸、氵名州、永年下经鸡泽，合入沣河，可灌田三千余顷。其五，怀、孟之间沁河，浇灌左右两岸田地，犹有余水，使之东与丹河余水相合，再引向东流至武陟县北，合入御河，可灌田二千余顷。其六，黄河自孟州向西开渠引水，分一支渠，经由新、旧孟州中间，顺河的古岸而下，至温县南复入大河，其间亦可灌田二千余顷。每奏一事，世祖都点头称是，并说“：办事的人都像这样，那就没有白吃俸禄的了。”于是授守敬提举诸路河渠。四年，加授银符，使任副河渠使。

十八年，居父丧，哀毁，日饮勺水。帝遣内侍慰谕之。未几，卒，年四十七。初，恂病，裕宗屡遣医诊治，及葬，赙钞二千贯。后帝思定历之功，以钞五千贯赐其家。延祐二年，赠推忠守正功臣、光禄大夫、司徒、上柱国、定国公，谥文肃。
至元元年(1264)，随张文谦至西夏。西夏地方，古渠之在中兴者，一名唐来，其长四百里，一名汉延，长二百五十里。其他州郡主渠十条，皆长二百里，支渠大小六十八条，灌田九万余顷。但兵乱以来，这些河渠都被淤塞。守敬重新建立闸堰，使河网灌溉如往日一样。

子宽、宾，并从许衡游，得星历之传于家学。裕宗尝召见，语之曰：“汝父起于书生，贫无赀蓄，今赐汝钞五千贯，用尽可复以闻。”恩恤之厚如此。宽由保章正历兵部郎中，知蠡州。宾由保章副累迁秘书监。
至元二年，郭守敬受任为都水少监，建议“：自中兴乘船四昼夜至东胜，可进行漕运，沿河见查泊、兀郎海古渠甚多，应加以疏通。”“金时，自燕京之西麻峪村，分引卢沟河水一支东流，穿西山而去，是谓金口。其水自金口以东，燕京以北，灌田若干顷，其利不可胜计。兵兴以来，地方守将以大石堵塞。如今应加以疏通，使上可收西山之利，下可以扩大至京畿的河道。”“还应于金口之西预开一条浅水渠，西南通大河，以防涨水突入之患。”世祖认为这些建议都很好。至元十二年(1275)，丞相伯颜南征，打算建立水运站，命守敬视察河北、山东一带可通舟行船的地方，绘图奏报。

郭守敬
刘秉忠认为辽、金所行之《大明历》，已有二百余年，须加修正，但未付诸实行就去世了。至元十三年，江南平定后，世祖想起了修改历法的事，命守敬与王恂领导南北天文官员，分头观测，命张文谦与枢密使张易总其成奏报，左丞相许衡参预其事。守敬首先认为“：制定历法的基础在于观测，而观测首先要有仪表。今司天浑仪系宋代皇..年间汴京所造，与此处天度不相符合，比量南北二极约差四度，仪表因年深日久，也有偏差。”他制作一系列天文仪器，计有简仪、高表、候极仪、浑天象、玲珑仪、仰仪、立运仪、证理仪、景符、窥几、日月食仪、星晷定时仪、正方案、丸表、悬正仪、座正仪等，用以观测天体运行、经纬度和日月食。还制作了《仰规覆矩图》、《异浑盖图》、《日出入永短图》。图与仪表互相参考。

郭守敬，字若思，顺德邢台人。生有异操，不为嬉戏事。大父荣，通五经，精于算数、水利。时刘秉忠、张文谦、张易、王恂同学于州西紫金山，荣使守敬从秉忠学。
至元十六年(1279)，改局为太史院，以王恂为太史令，守敬为同知太史院事。是年守敬进呈所制仪表，对世祖详加解说，奏称：“唐朝开元年间，僧一行令南宫说于南北各地设点观测，书中所见到的观测点有十三处。今我元朝疆域远比唐大，若不在远方进行观测，则不知日月交食分数时刻不同，昼夜长短之不同，日月星辰离天高下之不同。目测的人少，可先南北立表，取直测影。”世祖批准了他的建议。于是设监候官一十四员，分道至各地进行观测，东至高丽，西极滇池，南越朱崖，北至铁勒，四海之内设立观测点共二十七处。

中统三年，文谦荐守敬习水利，巧思绝人。世祖召见，面陈水利六事：其一，中都旧漕河，东至通州，引玉泉水以通舟，岁可省雇车钱六万缗。通州以南，于兰榆河口径直开引，由蒙村跳梁务至杨村还河，以避浮鸡氵甸盘浅风浪远转之患。其二，顺德达泉引入城中，分为三渠，灌城东地。其三，顺德沣河东至古任城，失其故道，没民田千三百余顷。此水开修成河，其田即可耕种，自小王村经滹沱，合入御河，通行舟筏。其四，磁州东北滏、漳二水合流处，引水由滏阳、邯郸、洺州、永年下经鸡泽，合入沣河，可灌田三千余顷。其五，怀、孟沁河，虽浇灌，犹有漏堰余水，东与丹河余水相合。引东流，至武陟县北，合入御河，可灌田二千余顷。其六，黄河自孟州西开引，少分一渠，经由新、旧孟州中间，顺河古岸下，至温县南复入大河，其间亦可灌田二千余顷。每奏一事，世祖叹曰：“任事者如此，人不为素餐矣。”授提举诸路河渠。四年，加授银符、副河渠使。
至元十七年，新历告成，守敬与诸臣共同上书，其大意是：中国在西汉以前尚无历法，西汉制定了《三统历》；东汉有《四分历》；三国时期刘洪造《乾象历》；魏晋南北朝时期，姜岌制定《三纪甲子历》，何承天制定《元嘉历》，祖冲之制定《大明历》；隋代刘焯制定《皇极历》；唐代傅仁均制定《戊寅元历》，李淳风制定《麟德历》，僧一行制定《大衍历》，徐昂造《宣明历》。又二百三十六年之后，有宋代姚舜辅制定《纪元历》。前后一千一百八十二年中，历法经过了七十次修正，创造历法者有一十三家之多，每次修改创造，都是对天象的新认识。如今大元圣朝要改治新历，臣守敬等创造了简仪、高表，藉以测量周天度数，校正以往观测之失误者七事，即：冬至、岁余、日躔、月离、入交、二十八宿距度、日出入昼夜刻；新创者五事，即：太阳盈缩、月行速缓、黄赤道差、黄赤道内外度、白道交周。关于冬至时间，据测定：至元十四年在十一月初九日夜半后八刻半，至元十五年在十一月二十四日夜半后三十三刻，至元十六年在十一月四日夜半后五十七刻半，至元十七年在十一月十五日夜半后八十一刻半。这四年的冬至时间各比《大明历》中的冬至时间减十八刻。关于日出日没时间及昼夜长短，郭守敬等人的奏章中指出：《大明历》日入日没时间及昼夜长短，皆以汴京为准，现以大都为准，夏至极长，日出寅正二刻，日没戌初二刻，昼长六十二刻，夜长三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日没申正二刻，昼长三十八刻，夜长六十二刻。

至元元年，从张文谦行省西夏。先是，古渠在中兴者，一名唐来，其长四百里，一名汉延，长二百五十里，它州正渠十，皆长二百里，支渠大小六十八，灌田九万余顷。兵乱以来，废坏淤浅。守敬更立闸堰，皆复其旧。二年，授都水少监。守敬言：“舟自中兴沿河四昼夜至东胜，可通漕运，及见查泊、兀郎海古渠甚多，宜加修理。”又言：“金时，自燕京之西麻峪村，分引卢沟一支东流，穿西山而出，是谓金口。其水自金口以东，燕京以北，灌田若干顷，其利不可胜计。兵兴以来，典守者惧有所失，因以大石塞之。今若按视故迹，使水得通流，上可以致西山之利，下可以广京畿之漕。”又言：“当于金口西预开减水口，西南还大河，令其深广，以防涨水突入之患。”帝善之。十二年，丞相伯颜南征，议立水站，命守敬行视河北、山东可通舟者，为图奏之。
至元十九年，王恂卒，这时新编历法已付诸实行。郭守敬将观测、推算的材料，分类整理，撰成《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷。至元二十三年(1286)郭守敬继任太史令，上表进呈天文、历书，计有《时候笺注》二卷、《修改源流》一卷、《仪象法式》二卷、《二至晷景考》二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》二卷、《新测二十舍杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《月离考》一卷。

初，秉忠以《大明历》自辽、金承用二百余年，浸以后天，议欲修正而卒。十三年，江左既平，帝思用其言，遂以守敬与王恂率南北日官，分掌测验推步于下，而命文谦与枢密张易为之主领裁奏于上，左丞许衡参预其事。守敬首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇祐中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度；表石年深，亦复欹侧。”守敬乃尽考其失而移置之。既又别图高爽地，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，未得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之矩方，测天之正圜，莫若以圜求圜，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。又作正方案、丸表、悬正仪、座正仪，为四方行测者所用。又作《仰规覆矩图》、《异方浑盖图》、《日出入永短图》，与上诸仪互相参考。
至元二十八年，有人说滦河自永平挽舟逆水而上，可至开平；有人说泸沟自麻峪可至寻麻林。朝廷派守敬去考察，实际上是滦河既不能行舟，泸沟亦不通航。守敬因而陈奏水利十一事。其中之一是：大都运粮河道，不用一亩泉旧道，而可别引北山白浮泉水，先向西而后折向南，经瓮山泊，自西水门入城，汇于积水潭，再向东折而南，出南水门，合入旧运粮河。每十里置一闸，到通州沿河设七闸，各闸相距一里多。闸上设闸门闸板，借以截断流水，便于行船。世祖看后大喜，令立即按规划进行。于是再设置都水监，使守敬主持该都水监的工作。又命丞相以下官员都携带工具去参加劳动，由守敬统一指挥。原来，通州至大都，陆运官粮，每岁若干万石，秋季多雨，运粮驴畜死者不可胜计。新河道开通后，不再陆运官粮了。至元三十年，世祖自上都至大都，路经积水潭，见满河船只首尾相连，十分高兴，题名为“通惠河”，赐守敬钞万二千五百贯，并令他以原职兼管通惠河漕运事。守敬又建议于澄清闸稍东，引水与北坝河相接，且设闸于丽正门西，使船只能环城往来通行。但这一规划未能实现。

十六年，改局为太史院，以恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。及奏进仪表式，守敬当帝前指陈理致，至于日晏，帝不为倦。守敬因奏：“唐一行开元间令南宫说天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，若不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同，即目测验人少，可先南北立表，取直测景。”帝可其奏。遂设监候官一十四员，分道而出，东至高丽，西极滇池，南逾朱崖，北尽铁勒，四海测验，凡二十七所。
至元三十一年(1294)，守敬受任为昭文馆大学士、知太史院事。大德二年(1298)，召守敬至上都，商议开铁幡竿渠。守敬认为“山上洪水频年暴下，非修建宽五十或七十步的大渠堰不可”。执政者不愿多投工费，说守敬是夸大其词，把渠堰的宽度缩小三分之一。第二年大雨，山洪注下，渠小不能容纳，淹没人畜屋舍，甚至几乎漫及行宫。成宗对宰相说“：郭太史真是神人，可惜没有采纳他的意见。”大德七年，诏朝廷内外官员，凡年满七十者，都可申请并批准退休，唯有守敬不许申请。从此以后，翰林、太史、司天官不退休，成为定制。

十七年，新历告成，守敬与诸臣同上奏曰：
延..三年(1316)，郭守敬寿终正寝，享年八十六岁。

臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周、秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式方备。又百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦皆定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章蔀元首分度不齐，始为总法，用进朔以避晦晨月见。又六十三年，一行造《大衍历》，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气、刻、时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十改，其创法者十有三家。
杨桓字武子，兖州人，自幼聪敏。读《论语》至《宰子昼寝章》，见孔子批评弟子宰予白天睡觉，是无用之材，有所感悟，下定决心：一生除非有病，否则决不白昼睡觉。二十岁为本州郡儒生时，一些有名望的人交口称赞他。中统四年(1263)，任济州教授，后由济州路教授升为太史院校书郎，奉皇帝之命撰写《仪表铭》、《历日序》，文辞典雅。世祖赐他楮币千五百缗，他推辞不肯接受。又升为秘书监丞。

自是又百七十四年，圣朝专命臣等改治新历，臣等用创造简仪、高表，凭其测实数，所考正者凡七事：
至元三十一年(1294)，拜为监察御史。有人从木华黎曾孙硕德家中得到一颗玉玺，杨桓认识玉玺上的印文是“受天之命，既寿永昌”，肃然起敬地说：“这是历代传下来的国宝，丢失已久。令皇上晏驾，皇太孙登基，这玉玺又出现，此乃上天降祥瑞。”于是撰文叙述这块玉玺的来龙去脉，奉献于徽仁裕圣皇后。

一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准。得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定丁丑夏至在庚子日夜半后七十刻；又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻半。各减《大明历》十八刻，远近相符，前后应准。二曰岁余。自《大明历》以来，凡测景、验气，得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差，仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有奇。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测到逐时太阴行度推算，变从黄道求入转极迟、疾并平行处，前后凡十三转，计五十一事。内除去不真的外，有三十事，得《大明历》入转后天。又因考验交食，加《大明历》三十刻，与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分，得入交时刻，与《大明历》所差不多。六曰二十八宿距度。自汉《太初历》以来，距度不同，互有损益。《大明历》则于度下余分，附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数。今新仪皆细刻周天度分，每度分三十六分，以距线代管窥，宿度余分并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入夜昼刻，皆据汴京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下，黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻。冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻。永为定式。
成宗即位，桓上疏陈奏当时应办的政务，共二十一事：一曰祭祀天地；二曰亲祭太庙备办四季祭品；三曰选任首相；四曰朝见群臣，询问当今政治之得失；五曰令儒臣按时向皇帝讲解经文；六曰设立太子学及各府州学校，教养学生；七曰表彰那些为国操劳成绩卓著的人；八曰规定礼服样式，借以区别贵贱；九曰讲求宫廷仪礼；十曰确定官吏编制，裁减多余之人；十一曰开辟财源，增加国库收入；十二曰访求精通音乐的人来制定宗庙祭礼的雅乐；十三曰国子监不可隶于集贤院；十四曰通过考试选拔来增补六部、寺、监及府、州、县的官员；十五曰增加朝廷内外官吏的俸禄；十六曰禁止父子、兄弟、奴婢相互告发；十七曰规定婚姻财礼；十八曰禁止用官钱做生意；十九曰恢复杖刑，借以区别罪过之轻重；二十曰对中统以前的郡县官吏加以优待；二十一曰各地政治要从本地民俗出发。成宗对这些建议均予以采纳。

所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降限，依立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差求得转分进退，其迟疾度数逐时不同，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘，今依算术句股弧矢方圜斜直所容，求到度率积差，差率与天道实吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测，内外极度二十三度九十分，以圜容方直矢接句股为法，求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道以斜求斜，今用立浑比量，得月与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。
不久，杨桓又升为秘书少监，参加修纂《大一统志》。任期届满，回归兖州，将资产全让予弟杨楷，为乡里所称赞。大德三年(1299)，召为国子司业，但未到任就去世了，终年六十六岁。

十九年，恂卒。时历虽颁，然其推步之式与夫立成之数，尚皆未有定稿。守敬于是比次篇类，整齐分杪，裁为《推步》七卷，《立成》二卷，《历议拟稿》三卷，《转神选择》二卷，《上中下三历注式》十二卷。二十三年，继为太史令，遂上表奏进。又有《时候笺注》二卷，《修改源流》一卷。其测验书，有《仪象法式》二卷，《二至晷景考》二十卷，《五星细行考五十卷》，《古今交食考》一卷，《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷，《新测无名诸星》一卷，《月离考》一卷，并藏之官。
桓为人宽厚，孝顺父母，博览群书，尤精于篆文，著有《六书统》、《六书溯源》、《书学正韵》等书，大抵是阐发许慎的文字学，而意义更加深刻。这些书皆流行于世。

二十八年，有言滦河自永平挽舟逾山而上，可至开平；有言泸沟自麻峪可至寻麻林。朝廷遣守敬相视，滦河既不可行，泸沟舟亦不通守敬因陈水利十有一事。其一，大都运粮河，不用一亩泉旧原，别引北山白浮泉水，西折而南，经瓮山泊，自西水门入城，环汇于积水潭，复东折而南，出南水门，合入旧运粮河。每十里置一闸，比至通州，凡为闸七，距闸里许，上重置斗门，互为提阏，以过舟止水。帝览奏，喜曰：“当速行之。”于是复置都水监，俾守敬领之。帝命丞相以下皆亲操畚锸倡工，待守敬指授而后行事。先是，通州至大都，陆运官粮，岁若干万石，方秋霖雨，驴畜死者不可胜计，至是皆罢之。三十年，帝还自上都，过积水潭，见舳舻敝水，大悦，名曰通惠河，赐守敬钞万二千五百贯，仍以旧职兼提调通惠河漕运事。守敬又言：于澄清闸稍东，引水与北霸河接，且立闸丽正门西，令舟楫得环城往来。志不就而罢。三十一年，拜昭文馆大学士、知太史院事。